MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
O máximo divisor comum, ou MDC, de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por MDC 16, 36 = 8. Já o MDC de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por MDC 30, 54, 72 = 6.
Dispositivo prático para calcular o MDC de dois ou mais números. O procedimento acima tem a seguinte forma prática de execução:
1. Alinhamos os três números, 30, 36 e 72, e dividimos todos os números que podem ser divididos pelo primeiro primo 2. Na linha de baixo anotamos cada quociente obtido:
2. Repetimos esse procedimento com o próximo primo que divida os três quocientes e, assim, sucessivamente, até que não hajam mais primos comuns:
3. Agora, multiplicamos todos os fatores primos na coluna da direita, obtendo o m.d.c. procurado: MDC 30, 36, 72 = 2 ∙ 3 = 6 O algoritmo de Euclidade para o cálculo do MDC de dois números ES PARA O CÁLCULO DO M.D.C. DE DOIS NÚMEROS. Para o cálculo do MDC de dois números, existe um dispositivo extremamente rápido e econômico. Trata-se do algoritmo de Euclides, que descrevemos, agora, para calcular o MDC de 305 e 360. 1. Dividimos o maior número, 360, pelo menor, 305, obtendo resto 55, posicionando o resto abaixo do divisor:36030555
2. Em seguida, transportamos o resto 55 para o lado direito de 305 e dividimos o 305 por 55, posicionando o novo resto abaixo do 55:
3. Repetimos esse procedimento, transportando o novo resto 30 para o lado direito de 55 e dividimos o 55 por 30, posicionando o novo resto abaixo do 30. E continuamos assim, sucessivamente, até obter o primeiro resto 0:
4. O penúltimo resto obtido, ou seja, o resto anterior ao primeiro resto 0, é o m.d.c. dos dois números iniciais: MDC (305, 360) = resto anterior ao 0 = 5.
Números primos entre si ou primos relativos. Dois números inteiros são ditos primos entre si, ou primos relativos, se o m.d.c. entre eles é 1. É o caso de 10 e 21. Como mdc (10, 21) = 1, então 10 e 21 são primos entre si. Propriedade fundamental do MDC. Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do MDC destes números. Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, o MDC destes três números.
